Introducción a los Invariantes de Nudos

Desde sus orígenes, debidos a los trabajos de Johann Carl Friedrich Gauss y Lord Kelvin, la teoría de nudos ha tenido un problema principal, que consiste en determinar cuándo dados dos diagramas de nudos, estos corresponden al mismo nudo, Peter Tait trató de resolver dicha situación, creando la primera tabla de nudos, sin embargo, no tuvo las herramientas matemáticas para completarla, así hubo la necesidad de establecer mecanismos más precisos para continuar la clasificación de los nudos, esta herramienta se denomina genéricamente invariante. Los invariantes de nudos no son perfectos y sólo sirven cuando queremos ver si dos objetos no son equivalentes, lo cual sucede cuando el mismo invariante es diferente aplicado a dos diagramas, si es igual no se puede concluir nada. Discutiremos sobre los movimientos de Reidemeister, el coloreamiento de un nudo, el polinomio de Alexander, número de enlace, grupo fundamental, además de hablar sobre las aplicaciones en general de la teoría de nudos en diversas ramas del conocimiento. Hacemos una síntesis y exponemos la manera de computar dichos invariantes.

Abstract

Since its inception, due to the work of Johann Carl Friedrich Gauss and Lord Kelvin, knot theory has had a major problem, that is given is to determine when two diagrams of knots, these correspond to the same knot, Peter Tait tried to resolve the situation, creating the first table of knots, however, did not have the mathematical tools to complete, and there was a need to establish mechanisms needed to continue the classification of knots, this tool is called generically invariant, Knot invariants are not perfect and only work when they want to see if two objects are equivalent, which occurs when the same invariant is applied to two different diagrams, if same cannot conclude anything. This paper has discussed about the most important invariants in knot theory, its history, its mode of use applications. We will discuss the Reidemeister moves, the color of a knot, Alexander polynomial, linking number, fundamental group, in addition to talking about general applications of knot theory in various branches of knowledge. We make a summary and discuss how to compute these invariants.