Los diseños óptimos dependen, entre otros aspectos, del modelo bajo estudio seleccionado previamente por parte del investigador. En este artículo se considera el modelo de regresión presentado en la ecuación (1):

(1)

Donde Y denota la variable respuesta del modelo, x es la variable explicativa, θ es un vector de p-parámetros, η(x,θ) es una función (lineal o no) del vector de parámetros, y є es el error aleatorio con distribución normal con media cero y varianza constante.

Un diseño ξ se define como una medida de probabilidad con soporte finito, representado en la ecuación (2).

(2)

Con x₁,^... , x_n y w₁,.w₂, ..., w_n y los puntos de soporte y los pesos del diseño, tales que [8]. Si los pesos w₁ son valores reales entre 0 y 1, los diseños obtenidos se denominan diseños continuos o aproximados.

La matriz de información permite cuantificar la información aportada por un diseño dado. La expresión de esta se encuentra en la ecuación (3):

(3)

Donde = es el vector gradiente para el i-ésimo punto de soporte, x_i [3]. En este caso la matriz de información depende del vector de parámetros .

La construcción de diseños óptimos se basa en la optimización de alguna función de valor real de la matriz de información Ψ(ξ)≔Ψ(M(ξ)). La estructura de dicha función es conocida como criterio de optimalidad [4]. Los criterios de optimalidad de interés son aquellos que tienen alguna interpretación estadística. Una de las características importantes que debe cumplir un criterio de optimalidad es la propiedad de convexidad; es decir, si M(ξ)=(1-α)M(ξ₁ )+ αM(ξ₂) , con ξ₁ y ξ₂ diseños, entonces, para cualquier 0 ≤ α ≤ 1, se cumple la desigualdad dada en la ecuación (4):

(4)

Con el fin de facilitar los cálculos numéricos para encontrar el diseño D-óptimo se minimiza el funcional equivalente: [9].

Uno de los criterios de optimalidad más usado es el criterio D-optimalidad [10]. Este consiste en hallar el diseño que minimice la varianza generalizada del vector de parámetros estimados, , o equivalentemente a aquel diseño que minimice . Cabe anotar que, si los errores del modelo son normales, una interpretación geométrica de este criterio es que el diseño hallado minimiza el volumen del elipsoide de confianza asociado al vector de parámetros [8].

En ocasiones, el interés del investigador no es precisamente la estimación de todos los parámetros del modelo, sino de una parte o combinaciones de algunos, es decir, si se quiere estimar una combinación lineal de θ₁, ... , θ_p , equivalente a c^Tθ donde C^T = [C₁, ..., C_p] es un vector de constantes conocidos. El criterio que tiene como objetivo la minimización de la varianza del estimador de esta combinación lineal se conoce como c-optimalidad. Este criterio se generaliza al hallar el diseño que minimiza la varianza de una función, no necesariamente lineal, de los parámetros estimados del modelo, , a partir de una linealización de primer orden de esta. La función objetivo en cualquiera de los dos casos, se presenta en la ecuación (5) [11].

(5)

En algunos criterios de optimalidad, por ejemplo, c-optimalidad, los diseños óptimos encontrados, en general, tienen un número de puntos de soporte inferior al número de parámetros del modelo, es decir los diseños son singulares, lo cual no permite hacer la estimación de los parámetros. Una forma de resolver este problema, investigada en este artículo, es hallar el diseño que optimice una ponderación de dos criterios de optimalidad, buscando que aquel diseño resultante satisfaga ambos criterios simultáneamente. Estos diseños se conocen con el nombre de diseños óptimos compuestos.

Sea Ψ_i (M(ξ,θ)), i= 1,2 dos criterios de optimalidad definidos en una región X y sea a un real positivo menor a uno, entonces la combinación lineal dada en la ecuación (6):

(6)

Es un criterio de optimalidad, conocido como el criterio compuesto de Ψ₁ y Ψ₂ . Si a=0.5, y Ψ₁ (M(ξ,θ)) y Ψ₂ (M(ξ,θ)) son los criterios D- y c-optimalidad respectivamente, se obtiene el criterio compuesto cD-optimalidad igualmente ponderados, ver ecuaciones (7), (8) y (9):

(7)

con:

(8)

(9)

Ambos en escala logarítmica, como resultado de considerar el logaritmo de la media geométrica de ambos criterios de optimalidad.

Kiefer y Wolfowitz en 1959 [12] presentan el primer teorema de equivalencia entre los diseños D y G-óptimo. El teorema establece la equivalencia entre D-optimalidad, usado para optimizar la estimación de los parámetros del modelo, y G-optimalidad, donde el interés se centra en la predicción de la respuesta de manera óptima. Esta equivalencia es válida para diseños continuos o aproximados, para diseños exactos es posible que no se cumpla. El teorema de equivalencia facilita la construcción de algoritmos para encontrar los diseños óptimos de los criterios presentes ya que se puede caracterizar un diseño con otro.

Una versión general de este teorema, para cualquier par de criterios, se desarrolla en [13], incluso para modelos no lineales. A continuación, se enuncia el teorema de equivalencia para cD-optimalidad, cuya deducción es una consecuencia de la versión generalizada presentada en [13].

Resultado

Un diseño ξ es cD-óptimo si y solo sí se cumple la ecuación (10):

(10)

Con D₁(x, ξ,θ) y D₂ (x, ξ,θ) dadas en las ecuaciones (12) y (13). Además para todo x ∈ χ y en los puntos de soporte del diseño se satisface la ecuación (11):

(11)

con:

(12)

(13)

Las funciones D_i(x, ξ,θ), i=1,2, se conocen como las funciones de sensibilidad o derivadas direccionales de los criterios D- y c- optimalidad [14].

Introducidos por [15], son los primeros diseños que aparecieron para el caso no lineal. Consiste en dar inicialmente un valor para θ , que esté cercano al valor verdadero del parámetro. Esta asignación a priori dependerá del conocimiento previo que el investigador tenga acerca del problema bajo estudio, puede optar por estimaciones a partir de datos previos, o estudios similares. Es de vital importancia una buena selección de los valores iniciales con el fin de garantizar un mejor experimento para la estimación de los parámetros. Una vez se tenga el valor o los valores supuestos para θ se construyen diseños óptimos a partir de funcionales de la matriz de información. Los diseños resultantes son diseños óptimos locales. Varios autores han usado esta alternativa para la construcción de los diseños, entre ellos: [16], [17], [18], entre otros.

A continuación, se esquematiza la metodología utilizada.

a. Para un conjunto de n-datos(x_i, Y_i) se ajusta el modelo de regresión logística dado en la ecuación (14):

(14)

y es el vector de parámetros. Denote por las estimaciones resultantes para considerados como los valores locales o de referencia para el vector de parámetros θ.

b. Se halla el diseño cD-óptimo local para θ.

c. Se calculan los nuevos valores de , , usando las ecuaciones (15) y (16), expresiones en coordenadas polares.

(15)

(16)

Con r_j, el radio, iniciando en 0.02 hasta un valor máximo de 0.10, con incrementos de 0.02, denotado por r_j = 0.02:2.10:0.02y en forma análoga para el ángulo: θ_k = 0°:330°:30°.

d. Para cada valor de θ_i se halla el diseño cD-óptimo local, y se calcula la eficiencia usando la expresión dada en la ecuación (17) y el criterio cD-optimalidad de la ecuación (7):

(17)

Este valor se encuentra entre cero y uno, a medida que este valor esté cercano a uno indicará que el diseño ξ es tan competitivo como el diseño ξ* -cD-óptimo.

En primer lugar, se ajusta un modelo logístico reparametrizado dado en la ecuación (14), con γ y μ los parámetros a estimar. Usando el software estadístico R, R Development Core Team (2013) [20] con la función nls, se hallan como estimaciones para los parámetros γ y μ, los valores 0.1060 y 47.972, respectivamente.

En la Fig. 1 se muestra el ajuste del modelo reparametrizado de la forma mostrado en la ecuación (14), después de considerar los datos agrupados, se consideraron los pares de datos (x_i, p_i ), con p_i proporción de individuos con EC en la marca de clase de la edad x_{i .} En lo que sigue se utilizan como valores locales para . Con este valor se halla el diseño D-óptimo local, diseño que permite estimar el vector de parámetros del modelo.

Fig. 1. Fig. 1. Ajuste para el modelo logístico mostrado en (14). Fuente: autor.

Además de estimar los parámetros del modelo interesa estimar una función no lineal de ellos, por ejemplo, la varianza de la respuesta predicha en un punto x₀, elegido como la edad a la cual un individuo tiene una probabilidad del 50 % de desarrollar enfermedad coronaria, en el caso de estudio corresponde a x₀ =44 años. La ecuación (18) muestra esta varianza.

(18)

Con gradiente asociado c^T = ( ∂ g ( θ ) ∂ γ ∂ g ( θ ) ∂ μ ) donde las derivadas con respecto a γ y μ se muestran en las ecuaciones (19), (20) y (21) respectivamente.

(19)

(20)

(21)

Con el fin de hallar diseños no singulares que permitan al mismo tiempo estimar los parámetros del modelo y estimar la función de interés, se opta por usar diseños óptimos compuestos, donde se considera el mismo peso o importancia para cada uno de los criterios considerados, el diseño óptimo local encontrado es observable como en la expresión mostrada en (22). Además, se usó el teorema general de equivalencia con el fin de determinar si en efecto, el diseño compuesto obtenido, dado en la expresión (22), cumplía con los requisitos para ser óptimo.

(22)

En la Fig. 2 se observa la derivada direccional de los puntos obtenidos para el diseño compuesto; se puede notar que en los puntos del diseño la derivada se hace cero y es negativa en los demás puntos de la región experimental, por lo que el teorema de equivalencia es válido.

Fig. 2. Fig. 2. Derivada direccional o función de sensibilidad del diseño cD-óptimo. Fuente: autor.

En las Tablas 2, 3 y 4 se muestran las perturbaciones correspondientes a las radios 0.02, 0.04 y 0.10 con sus respectivas eficiencias. Los valores perturbados corresponden a los puntos de un círculo con radio r, centrado en el valor local de los parámetros. En este punto se obtienen diseños con una eficiencia igual o similar a la arrojada por el diseño óptimo.

Tabla 2. Tabla 2. Diseños cD-óptimos y eficiencias para r=0.02 y diferentes ángulos.

r			Eficiencias
0.02	0	[33.63 62.31 0.58 0.42]	0.965
	30	[33.34 62.62 0.59 0.41]	0.966
	60	[32.46 63.51 0.59 0.41]	0.981
	90	[31.06 64.91 0.59 0.41]	0.999
	120	[31.06 64.91 0.59 0.41]	0.999
	150	[31.05 64.90 0.59 0.41]	0.999
	180	[31.04 64.89 0.59 0.41]	1.000
	210	[31.62 64.29 0.59 0.41]	0.992
	240	[31.03 64.87 0.59 0.41]	1.000
	270	[31.02 64.87 0.59 0.41]	1.000
	300	[32.42 63.48 0.59 0.41]	0.981
	330	[33.32 62.60 0.59 0.41]	0.969

Fuente: autor.

Tabla 3. Tabla 3. Diseños cD-óptimos y eficiencias para r=0.04 y diferentes ángulos.

r			Eficiencias
0.04	0	[35.54 62.31 0.56 0.44]	0.941
	30	[35.10 62.62 0.57 0.43]	0.947
	60	[33.66 63.51 0.58 0.42]	0.965
	90	[31.08 64.91 0.57 0.43]	0.999
	120	[27.40 64.91 0.61 0.39]	1.000
	150	[23.55 64.90 0.63 0.37]	0.667
	180	[21.77 64.89 0.63 0.37]	0.695
	210	[23.51 64.29 0.63 0.37]	0.667
	240	[27.33 64.87 0.61 0.39]	1.000
	270	[31.00 64.87 0.59 0.41]	1.000
	300	[33.59 63.48 0.58 0.42]	0.965
	330	[35.06 60.80 0.57 0.43]	0.947

Fuente: autor.

Tabla 4. Tabla 4. Diseños cD-óptimos y eficiencias para r=0.10 y diferentes ángulos.

r			Eficiencias
0.10	0	[39.10 56.83 0.55 0.45]	0.900
	30	[38.54 57.49 0.55 0.45]	0.946
	60	[36.40 59.70 0.56 0.44]	0.959
	90	[31.14 64.99 0.59 0.41]	1.000
	120	[20.00 78.94 0.64 0.36]	0.554
	150	[20.00 80.00 0.64 0.36]	1.000
	180	[20.00 80.00 0.64 0.36]	1.000
	210	[20.00 80.00 0.64 0.36]	1.000
	240	[20.70 78.87 0.64 0.36]	1.000
	270	[30.94 64.79 0.59 0.41]	0.999
	300	[36.23 59.53 0.56 0.44]	0.958
	330	[38.44 57.39 0.55 0.45]	0.945

Fuente: autor

Al realizar las perturbaciones con un radio r = 0.04, ver Fig. 3, se obtienen eficiencias cercanas al diseño óptimo, la menor eficiencia en este caso es de aproximadamente 70 %. En la misma figura se observan las eficiencias obtenidas para los otros radios, r, se puede ver que para los radios 0.04, 0.06 y 0.08 las menores eficiencias se obtienen en el segundo cuadrante del plano cartesiano, ángulos entre 90° y 180°.

Gráfico de eficiencias para los diseños óptimos para los distintos valores del radio.